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37此外 对易子运算中还常用到一些恒等式 ABCABACBACCBCαβαβ

2020-04-08 09:00 次浏览
37此外 对易子运算中还常用到一些恒等式 ABCABACABBAABCBACABCABCBCACAB等等 16作为对易子运算的一个例子 我们证明如下结论 能表达成xp的幂级数 求证 0lim QPCPABAB 17这里 等式右边是当左边A B这两个算符函数中的x和p换为经典变 37此外 对易子运算中还常用

  37此外 对易子运算中还常用到一些恒等式 ABCABACABBAABCBACABCABCBCACABαβαβ等等 16作为对易子运算的一个例子 我们证明如下结论 能表达成xˆpˆ的幂级数 求证 0ˆˆlim QPCPABAB 17这里 等式右边是当左边Aˆ Bˆ这两个算符函数中的xˆ和pˆ换为经典变

  37此外 对易子运算中还常用到一些恒等式 ABCABACABBAABCBACABCABCBCACABαβαβ等等 16作为对易子运算的一个例子 我们证明如下结论 能表达成xˆpˆ的幂级数 求证 0ˆˆlim QPCPABAB 17这里 等式右边是当左边Aˆ Bˆ这两个算符函数中的xˆ和pˆ换为经典变量x p时的Poisson括号。 ˆˆˆmlmllmpxaA这种形式。因为如有xˆ在pˆ右边的项 总可以用基本对易子将其调换 直到每项中的xˆ均在pˆ的左方。注意有以下对易关系 1212232ˆˆˆˆˆˆˆˆ 18类似有 121ˆˆˆˆˆˆˆˆ 1938 mlmllmpxBpxaipxBpxAi 00ˆ ˆˆ1limhhhhmlllmlmmmllmmlmlmllmpxpBxpBxpBxipxBpxBpxBpxiaipBxBpxaiˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ1limˆˆ ˆˆ1lim1211210 0LhLhhhhh CPmlmllmmlmllmmlmlmllmmlmlmllmABApAxBpBxApxapxBpBpxaxppxxBpBxpxapBplxpxxBma 11 这里 A步等号是由于当0 从而xBˆˆ与kpˆ可交换 成为对应的经典力学量 其余类似 到此证毕。 下面再举一个对算符求时间导数的例子。已知粒子密度算符为 rrrr′ rrrrδδˆ。现在往求它的时间导数算符表达式2ˆˆ11ˆ rrrrrrrhhhrrrr由于 rrrr′ 这里右边小括号表示梯度算符只对 rr′ rrδˆ中的rr作用 于是得到 ˆˆˆ2ˆˆˆˆˆ22drrrrrrdtmippjrrrrmmδδδδδ′ 20方程右边大括号内的算符就是粒子流密度算符 它与粒子密度算符也 39有连续性方程的关系。实际上 trrψ求平均 利用时间导数算符的平均值等于该算符平均值的时间导数这一定义 drtrtdrtrrrtdrdtdtdrtdtψψψδψρ rrrrrrrr上式左trtrtrtrmijrdtrrrmpmprrtrrdtrrrrrtrmirdtrrrrrtrmirdtrrrrrtrmi rrrrhrrrrrrrrrrrrrrrrrhrrrrrrrhrrrrrrrhψψψψψδδψψδδψψδδψψδδψ上式右边这正是前面的连续性方程。由推导过程同时也看到 流密度矢量 2rtrtrtrtmiψψψψ 21正是流密度算符 rrmpmprrj′ rrrrrrrδδˆ2ˆ2ˆˆˆ在态tr rψ中的平均值。 HellmannFeynman定理和Virial定理 微观粒子的状态和力学量除可能随时间变化之外 还可能依赖于某些参数 比如势阱的宽度、位势函数中的参量 甚至粒子的质量、电荷、角动量等等。特别是系统的哈密顿量 它的期望值常常会包含一些参量。下面研究系统哈密顿量的期望值如何随参数变化。 设某系统哈密顿量为 λ是某一参量。又设rvψ为一定态 HrErλψλψvv 于是有 EdrrHrλψλψ vvv 40将此式对λ求偏导数 共得三项。但由于 1drrrψψ vvv 从而含 rw的积分之和等于零ErrHdrHrrHdrrrrrHdrErErdrrrrrHEdrrrdrrrdrrrEdrrλψψλλψψλψψλλλλψψλλψλψψψλλλψψλλψψψψλλλψψλψλ vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Hrλψλ v于是即得 rHrrdEvvvψλλψλλ 22这便是Hellmann Feynman定理。 束缚态的Virial定理 iiixVxT21ˆ 23a这里Tˆ和V分别是动能算符和势能算符。 证明 由定态方程 ˆˆ0ETVExψ 左乘以iiipxˆˆ 求内积 ˆˆˆˆ0EiiEidxxxpTVExψψvvv 0EiiiiiiiiiiEidxxxTpTxppVxVxpExpxψψvvv 由于对易子 mpiTxiiˆˆ 41xxVxxxdxmpxxdEiiiEEEvvvvvvvψψψψˆˆ212ˆ mxxxV21 为ix的n阶齐次函数的特殊情况 由Euler定理有 iiiVnxVx 这时Virial定理将简化成为 VnT2 23bVirial定理有助于动能和势能的平均值以及它们分拆的计算。比如 对谐振子势 2122rmrVvvω VT对Coulomb TV2等等。另外 由FeynmanHellmann 定理 利用坐标的标度变换iixyλ 可以更为简单地证明 Virial 定理。 这两个定理在原子分子物理和化学中有许多应用 比如解释共价键的成键原因等。许多应用的基本思想是利用总能量最小的极值条件往求分子的稳定构形、由势能的梯度给出分子内部各部分之间的相互作用力等等。FeynmanHellmann 定理的个别应用参见本章习题。 dingeroSchr方程向经典力学的过渡 量子力学向经典力学的过渡有多种途径。这里只给出两种从dingeroSchr 方程出发的过渡。 h过渡方式量子效应总离不开Planck常数h。当h的数量级与一个物理过程的作用量 动量和空间尺度的乘积 为角动量的量纲 相比较 42能忽略时过程中的量子效应便不能忽略。因此可以指望 牛顿力学是量子力学当0 h时的极限情况。就是说 对于接近经典的量子系统 a和S均为实函数hrrrtrSietratr 24就可以预计 h时S将服从牛顿力学规律而成为经典粒子的作用量。为表明这点将此表达式代入dingeroSchr 方程 可得1 022222 012022122aSmSmataamaVSmtSh从第一式中略去2h项 并将第二式乘以a2 25这里第一个方程就是单粒子作用量S的经典Hamilton Jacobi方程2。由于 S粒子动量pv 因此mSa 2便是粒子的流密度。第二个方程可看成连续性方程。如果不把2a看成粒子的几率密度 而当做粒子密度 则此方程完全是个经典力学方程。 同前。也可参见KGottfried Quantum Mechanics vol 701965 古典动力学第251页 科学出版社 1983年。 Hamilton Jacobi方程为 tSxSxHii这里iipxS 43综上所述 当dingeroSchr 方程中0 实质上是说所研究体系的动量p和运动的空间范围尺度l足够大 使得h lp 这时粒子的de Broglie波波长0 若略去2h项则得到经典力学的规律。说得仔细些 平均值过渡方式及其局限性可以换一种方法来研究这种过渡的问题。就是去研究势场中dingeroSchr 方程所给出的平均动量的变化规律。以x方向为例 dvxipxψψhˆ 所以有 dvxVxVdvxxmdvVmxdvxVmdvtxidvxtipdtdxψψψψψψψψψψψψψψψψψψ222ˆ222hhhhh这里 最后表达式的第一个积分中有两项 它们均包含Δ算子 对其中一项进行两次分部积分并利用无穷远处的边条件 在那里ψ及其一阶偏导数均为零 可知此项积分为零 将第二个积分化简之后 便得到 dvxVpdtdxψψˆ ˆdpVdvVFdtψψrr 总结起来 44ˆdrpdtmdpFdtvvrr 26方程 26称为Ehrenfest定理。它们表明 微观粒子的运动在平均值的意义上遵从牛顿第二定律 量子效应只是围绕经典平均值的一种涨落 量子涨落。当然 这里讲的只是一种‘粗略的’说法。严格说来 如果力Fv依赖于位置rv 经典运动方程就应当为 rFdtrdmvvv 22 若要这里平均值过渡的说法成立 就应当要求 26式右方的 rFFvv 。这只当Fv为零 自由运动 或只依赖于rv 谐振子情况 时才成立 后种情况参见相干态的叙述 。若Fv不是这两种情况 就必须要求波函数局域在一个足够小的空间内 使得力Fv在整个小区域中可看作常数时才能成立。从宏观尺度来看 有时微观粒子局域波包的尺寸会远小于宏观力场变化的尺度 这时平均值过渡也就成立。 42 第三章 一维问题 求解dingeroSchr 方程是量子力学的中心任务。本章研究其中较为简单的情况——一维问题。 一维方势阱问题Landau 与Pauli的矛盾 《无限深方势阱》 这是本章第一个例题 也是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论 甚至导致严重误解 “量子力学的数学是错的”。 研究一维dingeroSchr 方程 其中位势为 axaxxV 1a于是定义在整个x轴上的dingeroSchr 方程现在分为三个区域 第I区ax 第II区ax 第III区ax 。由于I区和III区中 xV 无穷位势问题见讨论i 为使dingeroSchr 方程成立 这两个区域中的波函数 xψ必须为零 ax。说明微观粒子即便具有波动性 也难以渗透进非常高的势垒区里。于是坐标波函数求解只须对第II区进行 axxaxxExdxdm 1b有时 这里的边界条件被简单地写作 axx 0ψ1。但由于对阱外情况未作规定 这种提法是含混的。参见下面有关讨论。 这种用法见泡利《物理学讲义》第五卷详见下面讨论v的脚注。 43 显然 在第II区ax 内方程通解为 2122sinhmEkkxAxαψ 这里出现两个待定系数A、α和一个待定参数k 它的数值将决定阱中粒子的能量 。为了确定它们 利用两个边界条件 加上总几率归一条件一共也是三个 0sin0sinααkaka由此得πα2nka n。最后阱中粒子的能级和波函数分别为 Lh 82222nmanEnπ 2aaxaxaxanaxn 2b这虽然是一个最简单的例子 鉴于存在不少观点分歧 需要作一些讨论说明 无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学模写。因为第一 介质中势能不可能真是无限大 第二 势函数也不可能是严格的阶跃。容易给出能够近似认定某一势函数为无限深方阱的条件。设实际阱壁高为0V 可将0V近似认作无限高的条件是 0VE E是问题中涉及的最大能量。同时 设势函数两端显著上升的尺度为xΔ 波函数有显著变化的尺度为nak42 则可认作阶跃变化的条件为nax4Δλ。因此 对n很大的高激发态情

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